Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

Nierówność kwadratowa, to nierówność postaci
$ax^2+bx+c>0$ lub
$ax^2+bx+c<0$ lub
$ax^2+bx+c\ge 0$ lub
$ax^2+bx+c\le 0$ ,
gdzie $a\neq 0$

Rozwiążemy jedną z nierówności, która pojawiła się w arkuszach CKE:

$x^2-8x+7\ge 0$

$a=1,b=-8, c=7$

Wyróżnik trójmianu kwadratowego (brzmi groźnie), to nic innego jak delta $\Delta$ . Od niej zależy liczba rozwiązań równania kwadratowego.
Krótkie przypomnienie. Jeśli:
$\Delta >0$ – równanie ma dwa rozwiązania,
$\Delta =0$ – równanie ma jedno rozwiązanie,
$\Delta <0$ – równanie nie ma rozwiązań.

Wróćmy do naszej nierówności i obliczmy $\Delta$
$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7=64-28=36$
Wyznaczmy pierwiastki (czyli (2!) rozwiązania) równania

$x^2-8x+7=0$

$\sqrt {\Delta}=\sqrt {36}=6$ zatem

$x_1=\frac{-b-\sqrt {\Delta}}{2a}=\frac {8-6}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$

$x_2=\frac{-b+\sqrt {\Delta}}{2a}=\frac{8+6}{2\cdot 1}=\frac{14}{2}=7$

I tutaj kolejny ważny etap każdej nierówności – wykres pomocniczy.
Ramiona paraboli skierowane w górę $(a>0)$ , parabola przecina oś w dwóch miejscach $(\Delta >0)$ . Do dzieła!

Pozostaje zapisać rozwiązanie nierówności w postaci sumy przedziałów

$x\in (-\infty,1\rangle \cup \langle7,\infty )$

I już. 🙂

O MATHko!

Jak rozwiązać nierówność kwadratową?

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi