O ciągach – teoretycznie

Matematyk powiedziałby, że ciąg to taka funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych. I nie byłoby to nadużycie. Ale co to są liczby naturalne? Czy zero należy do tego zbioru? Dyskusja akademicka. Do czasu napisania matury ustalmy, że zero należy do zbioru liczb naturalnych. Ale nie o tym.
Tutaj znajdziesz to, co, o ciągach, wiedzieć powinien statystyczny maturzysta – czyli taki, który zdaje matematykę podstawową.

$a_1,a_2,a_3,a_4,..., a_{n-1},a_n,a_{n+1},.....$

Ciąg arytmetyczny – to taki ciąg, którego kolejne wyrazy różnią się o tyle samo, o pewną stałą liczbę zwaną różnicą (r) ciągu arytmetycznego:
$a_1,a_1+r,a_1+2r,a_1+3r,...,a_1+(n-2)r,a_1+(n-1)r,a_1+nr,...$
zatem

$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$

to taki ważny wzór, który często się przydaje. Warto go zapamiętać, żeby na egzaminie nie marnować czasu na buszowanie po tablicach.

Przykłady ciągów arytmetycznych:

$1,2,3,4,5,...$

$2,4,6,8,10,...$

$0,-5,-10,-15,-20,-25,-30...$

$-\frac{1}{3},-\frac{2}{3},-1,-\frac{4}{3},-\frac{5}{3},-2,-\frac{7}{3},...$

Czy potrafisz określić ile wynosi różnica poszczególnych ciągów?
$1,1,1,1,....$ – ciąg stały jest szczególnym przypadkiem ciągu arytmetycznego o różnicy $r=0$ .

Do określenia ciągu arytmetycznego wystarczą nam dwie informacje – pierwszy wyraz ciągu i różnica ciągu.

W ciągu arytmetycznym zachodzi następująca zależność:

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$

co oznacza, że dowolny wyraz ciągu (o numerze większym od 1) jest średnią arytmetyczną wyrazu poprzedniego i następnego, tzn. jeśli a, b, c to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, to wówczas $b=\frac{a+c}{2}$ lub $a+c=2b$ .

Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli $S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n$ możemy obliczyć korzystając ze wzoru:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

Ciąg geometryczny – to taki ciąg, którego kolejne wyrazy powstają, poprzez pomnożenie poprzedniego przez pewną stałą liczbę, zwaną ilorazem (q) ciągu geometrycznego:
$a_1,a_1q,a_1q^2,a_1q^3,...,a_1q^{n-2},a_1q^{n-1},a_1q^n,...$
zatem

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

W ciągu geometrycznym zachodzi następująca zależność:

$a_n=\sqrt {a_{n-1}\cdot a_{n+1}}$

to znaczy, że każdy wyraz ciągu (o numerze większym od 1) jest średnią geometryczną wyrazu poprzedniego i następnego, tzn. jeśli a, b, c to kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego, to wówczas $b=\sqrt {a\cdot c}$ lub $a\cdot c=b^2$ .

Przykłady ciągów geometrycznych:

$1,3,9,27,81,...$

$2,12,72,432,2592...$

$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},...$

$1;0,1;0,01;0,001,...$

$-5,-10,-20,-40,-80,...$

$1,-1,1,-1,1,-1,1,...$

$5,0,0,0,0,...$

$\frac{1}{5},-\frac{2}{5},\frac{4}{5},-\frac{8}{5},\frac{16}{5},...$

$1,1,1,1,....$ – ciąg stały jest szczególnym przypadkiem ciągu geometrycznego o ilorazie $q=1$ .
Do określenia ciągu geometrycznego wystarczą nam dwie informacje – pierwszy wyraz ciągu i iloraz ciągu.

Najgrubsze 😉 pojęcie zostało na koniec – monotoniczność ciągu, czyli to, czy dany ciąg jest rosnący, nierosnący, malejący, niemalejący, a może jest to ciąg stały? Przykłady:
$1,2,3,4,5,6,....$ – ciąg rosnący
$1,1,1,2,3,...$ – ciąg niemalejący
$10,9,8,7,6,5,...$ – ciąg malejący
$0,-5,-5,-5,-5,...$ – ciąg nierosnący
$1,1,1,1,1...$ – ciąg stały
$2,-2,2,-2,2,-2,...$ – ciąg niemonotoniczny

Jak mając wyraz ogólny ciągu (czyli $a_n=...$ ) określić monotoniczność ciągu? Należy wyznaczyć $n+1$ wyraz ciągu i zbadać znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ . Wówczas, dla każdego $n$ mamy:
$a_{n+1}-a_n>0$ – ciąg rosnący
$a_{n+1}-a_n\geq 0$ – ciąg niemalejący
$a_{n+1}-a_n<0$ – ciąg malejący
$a_{n+1}-a_n\leq 0$ – ciąg nierosnący
$a_{n+1}-a_n=0$ – ciąg stały