Trenuj! – ciągi część 2

Ciąg arytmetyczny, geometryczny, średnie, sumy, różnice, ilorazy – jeśli tu jesteś, to na pewno te pojęcia masz usystematyzowane. Chyba, że udało Ci się przed nimi umknąć, wtedy zajrzyj TUTAJ, znajdziesz tu wiele teoretycznych wskazówek.

Pierwsza część maturalnych zadań – sprawdź koniecznie!

Bardzo szybko obliczymy iloraz ciągu geometrycznego wykonując działanie:

$q=\frac{a_4}{a_3}=\frac{\frac{2}{3}}{1}=\frac{2}{3}$

Z drugiej strony mamy:

$a_3=a_1\cdot q^2$

Zatem

$a_1=\frac{a_3}{q^2}=\frac{1}{\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{9}}=\frac{9}{4}$

Odpowiedź D.

Obliczmy wartość wyrażenia
$a_n=\frac{n}{(-2)^n}$ dla $n=3$

$a_3=\frac{3}{(-2)^3}=\frac{\ 3}{-8}$

Odpowiedź D.

Różnicę ciągu arytmetycznego możemy obliczyć w następujący sposób:

$r=a_4-a_3=14-10=4$

Z kolei

$a_3=a_1+2r$

zatem

$a_1=a_3-2r=10-2\cdot 4=10-8=2$

Odpowiedź B.

Obliczmy wartość wyrażenia
$a_n=\sqrt{2n+4}$ dla $n=8$

$a_8=\sqrt{2\cdot 8+4}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}$

Uwaga!!! Pierwiastek sumy nie jest równy sumie pierwiastków! $\sqrt{a+b}\neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$
Odpowiedź A.

Jeśli mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym, to iloraz jest stały. Stąd:

$\frac{a}{4}=\frac{4}{2\sqrt2}$

Wówczas:

$a=\frac{4\cdot 4}{2\sqrt2}=\frac{16}{2\sqrt2}=\frac{8}{\sqrt2}$

Usuwamy niewymierność z mianownika:

$\frac{8\cdot \sqrt2}{\sqrt2\cdot \sqrt2}=\frac{8\cdot \sqrt2}{2}=4\sqrt2$

Odpowiedź B.

Obliczmy wartość wyrażenia
$a_n=(-1)^n\cdot \frac{2-n}{n^2}$ dla $n=5$

$a_5=(-1)^5\cdot \frac{2-5}{5^2}=(-1)\cdot \frac{-3}{25}=\frac{3}{25}$

Odpowiedź B.

W ciągu arytmetycznym stała jest różnica, zatem:

$19-y=y-x$

$2y-x=19$

Wykorzystajmy równość $x+y=8$ . Wynika z niej, że $x=8-y$ .
Wówczas

$2y-(8-y)=19$

$2y-8+y=19$

$3y=19+8$

$3y=27$

$y=9$

$x=8-y=8-9=-1$

Odpowiedź

$x=-1,\ y=9$

Wiemy, że
$a_1=3$ , $a_4=15$
Obliczamy różnicę ciągu arytmetycznego
$a_4=a_1+3r$
zatem
$3r=a_4-a_1=15-3$
$3r=12$
$r=4$
Sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu obliczymy ze wzoru: