Trenuj! – kąty | O MATHko!

Daj sobie chwilę na geometrię. Te proste, poniższe zadania (każdy gimnazjalista dałby im radę) wymagają subtelnej analizy i sprawdzają czy rozumujemy poprawnie. A ćwiczenie umiejętności poprawnego rozumowania, w przypadku każdego maturzysty, jest na wagę złota. Do dzieła!

Tutaj znajdziesz teoretyczne wskazówki do zadań.

Kąt CSA jest kątem środkowym, podobnie jak kąt BSD. (Kąty zawsze określamy w ten sposób, aby litera oznaczająca wierzchołek kąta, znajdowała się w środku „nazwy” kąta.) Kąty CSA i BSD są kątami wierzchołkowymi, zatem mają taką samą miarę. Zatem kąt BSD ma miarę $50^\circ$ .
Z kolei, kąt BMD jest kątem wpisanym. W dodatku, jest to kąt wpisany oparty na tym samym łuku, co kąt środkowy BSD. Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym (wprowadzenie teoretyczne do tematu znajdziesz tutaj ), wiemy, że kąt wpisany ma miarę dwa razy mniejszą od kąta środkowego.
Zatem kąt $\alpha$ inaczej kąt BMD ma miarę $25^\circ$ .
Odpowiedź A.

Jeśli punkty A, B, C, D dzielą okrąg na 4 równe łuki, to kąty środkowe (takie, które w środku mają wierzchołek) miałyby miarę $360^\circ:4=90^\circ$ , zatem byłyby to kąty proste.
Ponieważ kąt ACD jest kątem wpisanym opartym na łuku AD (A kąt środkowy oparty na tym samym łuku miałby miarę $90^\circ$ ), to z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku możemy wnioskować, ze miara kąta ACD wynosi $45^\circ$ .
Odpowiedź C.

Ileż dzieje się na tym rysunku! Czy potrafisz wskazać kąt prosty?

Przejdźmy do analizy.
Zauważmy, że kąt $\alpha$ jest kątem wpisanym. Na tym samym łuku, co kąt $\alpha$ jest oparty kąt środkowy CSA. (Gdy znajdziemy miarę kąta środkowego, z odpowiedniego twierdzenia, podamy miarę szukanego kąta $\alpha$ .)
Zauważmy, że trójkąt ASC, jest równoramienny. AS i SC, to promienie okręgu, zatem |AS|=|SC|. Trójkąty równoramienne mają równe kąty przy podstawie zatem miara kąta SCA jest równa mierze kąta SAC i wynosi $21^\circ$ .
Wyznaczmy miarę kąta CSA:
$180^\circ-2\cdot21^\circ=180^\circ-42^\circ=138^\circ$
Zatem miara kąta $\alpha$ wynosi:
$138^\circ:2=69^\circ$
Odpowiedź D.

Zauważmy, że kąt ASC jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku, co kąt wpisany ADC. Zatem miara kąta ADC wynosi $118^\circ:2=59^\circ$ .
Ponieważ kąt ADC ma miarę równą sumie miar kątów ADB i BDC, zatem miara szukanego kąta wynosi:
$59^\circ-27^\circ=32^\circ$ .
Odpowiedź D.

Trenuj! – kąty

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi