Trenuj! – równania i nierówności cz. 2

Pierwszą część zadań maturalnych z zakresu równania i nierówności znajdziesz tutaj. Tymczasem rozważymy kilka równań i nierówności różnych typów z najnowszych arkuszy Centralnej Komisji Egzaminacyjnej. Do dzieła!

Jeśli masz do czynienia z równaniem danym w postaci iloczynowej, sprawdź czy prawa strona jest równa zero. Wówczas sprawa jest prosta. Iloczyn jest równy zero, jeśli którykolwiek z czynników wynosi zero. Zatem:
$x=0$ lub $x^2-4=0$ lub $x^2+4=0$ .
Pierwszy czynnik, to już gotowe rozwiązanie. Drugi czynnik ma dwa rozwiązania:
$x^2-4=0$
wtedy, gdy
$x^2=4$
zatem
$x=2$ lub $x=-2$ .
Trzeci czynnik, to równanie sprzeczne. Kwadrat liczby rzeczywistej nie może być ujemny. Nasze równanie ma trzy rozwiązania.
Odp.: C

Podczas, gdy w poprzednim przypadku milcząco przyjąłeś, że zbiór wszystkich możliwych rozwiązań równania zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych, teraz musisz na początku wyznaczyć dziedzinę równania. O tym, że nie dzieli się przez zero wiesz od czasów wczesnej podstawówki. Zatem w mianowniku nie może pojawić się zero:
$x^2-4\neq 0$ ,
czyli dziedzina, to zbiór liczb rzeczywistych oprócz 2 i -2.
$D: x\in R\backslash \{2,-2\}$
Teraz wystarczy zauważyć, że ułamek jest równy zero, jeśli licznik jest równy zero, czyli:
$x^2+2x=0$ . Zauważ, że:
$x^2+2x=x(x+2)$ .
Zatem licznik zeruje się dla
$x=0$ oraz $x=-2$
Ponieważ $-2$ nie należy do dziedziny, rozwiązanie jest jedno, równe zero.
Odp.: D

Przyjrzyjmy się lewej stronie równości dla konkretnych wartości x:

$(x\sqrt 2-2)^2$ dla $x=-\sqrt 2$ mamy $(-\sqrt 2\cdot \sqrt 2-2)^2=(-2-2)^2=16\neq (2+\sqrt 2)^2$

$(x\sqrt 2-2)^2$ dla $x=\sqrt 2$ mamy $(\sqrt 2\cdot \sqrt 2-2)^2=(2-2)^2=0\neq (2+\sqrt 2)^2$

$(x\sqrt 2-2)^2$ dla $x=-1$ mamy $(-1\cdot \sqrt 2-2)^2=(-\sqrt 2-2)^2= (\sqrt 2+2)^2=(2+\sqrt 2)^2$
Odp.: C

Iloczyn jest równy zero, jeśli którykolwiek z czynników wynosi zero. Zatem
$x^3+125=0$ lub $x^2-64=0$
wówczas
$x^3=-125$ lub $x^2=64$
Pierwsze równanie posiada jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych, a drugie – dwa rozwiązania:
$x_1=-5$ lub $x_2=8$ lub $x_3=-8$
Odp.: $x\in\{-8,\ -5,\ 8\}$ .

Rozważmy nierówność liniową:
$2-3x\ge 4$
$-3x\ge 4-2$
$-3x\ge 2$ .
Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną zmieniamy znak nierówności:
$x\le -\frac{2}{3}$
Rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby mniejsze bądź równe $-\frac{2}{3}$
Odp.: D

Mnożymy nierówność przez 6 – najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 2 i 3:
$\frac{1-2x}{2}>\frac{1}{3}|\cdot 6$
$3\cdot(1-2x)>2$
$3-6x>2$
$-6x>2-3$
$-6x>-1$
Dzielimy nierówność przez liczbę ujemną, zmieniamy znak:
$x<\frac{1}{6}$
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności są liczby mniejsze od $\frac{1}{6}$ .
Odp.: A

Zadanie zamknięte nie wymaga znalezienia pełnego zbioru rozwiązań nierówności. Wystarczy sprawdzić, które liczby spośród proponowanych spełniają nierówność:
$(x^4+1)(2-x)>0$
Dla $x=-3$ mamy $(81+1)(2+3)=82\cdot 5>0$
Dla $x=-1$ mamy $(1+1)(2+1)=2\cdot 3=6>0$
Dla $x=1$ mamy $(1+1)(2-1)=2\cdot 1=2>0$
Dla $x=3$ mamy $(81+1)(2-3)=82\cdot (-1)=-82<0$
Odp.: D

Nierówność kwadratowa, to zadanie-pewniak na egzaminie maturalnym z matematyki. Schemat rozwiązania przykładowej nierówności znajdziesz tutaj. Tym razem podejdziemy do zagadnienia nieco inaczej, to znaczy „bez delty”.
Na początek rozważ równanie:
$8x^2-72x=0$
$8x(x-9)=0$
$8x=0$ lub $x-9=0$
$x=0$ lub $x=9$
Drugi etap, to znalezienie rozwiązań nierówności $8x^2-72x\le 0$
na przykład w oparciu o pomocniczy wykres: