Trenuj! – geometria

Geometria – dla jednych ulubiona, dla innych – niekoniecznie. Co jest pewne? To, że potrafi być wymagająca. Niewprawiony w boju może polec. Pora przygotować się na tę nierówną walkę. Przed Tobą zadania zamknięte i otwarte krótkiej odpowiedzi. Dotyczą kątów, trójkątów, podobieństwa, trygonometrii. Czas start!

Kąty KSL i KML, to kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku, co za tym idzie:

$\alpha=2\beta$

Z treści zadania mamy:
$\alpha + \beta =111^\circ$
zatem

$2\beta+\beta=111^\circ$

$3\beta=111^\circ$

$\beta=111^\circ :3$

$\beta=37^\circ$

$\alpha=2\cdot 37^\circ =74^\circ$

Odp.: A

Kąt ACB, to kąt wpisany oparty na średnicy okręgu, zatem jest to kąt prosty. Miara kąta OCB wynosi:
$90^\circ-56^\circ =34^\circ$
Trójkąt BOC jest równoramienny (jego ramiona są promieniami okręgu).
Stąd kąty przy podstawie (OCB i CBO) są równe.
Ponieważ suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$ zatem

$\alpha =180^\circ -2\cdot 34^\circ=180^\circ-68^\circ=112^\circ$

Odp.: C

$\frac{|BD|}{|DE|}=\frac{|BC|}{|AC|}$

$\frac{|10|}{|DE|}=\frac{12}{24}$

$\frac{|10|}{|DE|}=\frac{1}{2}$

$|DE|=20$

Odp.: B

Warto przypomnieć sobie zależności między bokami w trójkącie prostokątnym o kątach $30^\circ$ , $60^\circ$ i $90^\circ$ (rysunek).

Obwód trójkąta, to suma długości wszystkich jego boków:

$O=a+a\sqrt3+2a=3a+a\sqrt3=(3+\sqrt3)a$

Odp.: C

$sin\alpha=\frac{3}{8}=0,375$

Z tablic odczytujemy, dla jakiego kąta $\alpha$ sinus przyjmuje daną wartość.

Zatem miara szukanego kąta jest większa od $22^\circ$ i mniejsza od $23^\circ$ .
Odp.: C

Trójkąty podobne mają taki sam stosunek odpowiednich boków. Aby trójkąt o bokach $a$ , $b$ , $c$ był podobny do danego trójkąta musi być spełniony warunek:

$\frac{2\sqrt5}{a}=\frac{3\sqrt5}{b}=\frac{4\sqrt5}{c}$

Zależność ta zachodzi tylko dla pierwszego trójkąta o bokach $10$ , $15$ , $20$ .

$\frac{2\sqrt5}{10}=\frac{3\sqrt5}{15}=\frac{4\sqrt5}{20}$

Stosunek długości odpowiednik boków jest stały.
Odp.: A

Oznaczmy przez $x$ długość krótszej przyprostokątnej. Wówczas, z twierdzenia Pitagorasa, mamy:

$x^2+(x+14)^2=26^2$

$x^2+x^2+28x+196=676$

$2x^2+28x-480=0|:2$

$x^2+14x-240=0$

Rozwiążmy równanie kwadratowe.
Pamiętając, że $x>0$ obliczmy $\Delta$ :

$\Delta=b^2-4ac=14^2+4\cdot 240\cdot 1=1156$

$\sqrt {\Delta}=\sqrt {1156}=34$

zatem

$x_1=\frac{-b-\sqrt {\Delta}}{2a}=\frac {-14-34}{2}=\frac{-48}{2}<0$

$x_2=\frac{-b+\sqrt {\Delta}}{2a}=\frac{-14+34}{2}=\frac{20}{2}=10$

Przyprostokątne danego trójkąta mają długość:
$x=10$
$x+14=24$
Obwód trójkąta wynosi 60cm.

$Obw=10+24+26=60$

$cos\angle KLM=cos60^\circ=\frac{a-b}{|LM|}$

Zatem

$\frac{1}{2}=\frac{a-b}{|LM|}$

Stąd

$|LM|=2(a-b)$

Odp.: B

Źródło:
https://cke.gov.pl/egzamin-maturalny/

2 Responses to "Trenuj! – geometria"

M W
4 kwietnia 2019 - 01:03 Reply

W zadaniu 2-im (od góry): Trójkąt AOC jest równoramienny (2 promienie – ramiona wychodzące z p.O). Zatem kąt CAO = 56 również, a kąt AOC = 180 – 2 x 56 = 68. A poszukiwana wartość kąta alfa = 180 – 68 =112 stopni.
- Domi
  4 kwietnia 2019 - 01:12 Reply
  
  To również prawidłowy sposób rozwiązania zadania 🙂

O MATHko!

Trenuj! – geometria

2 Responses to "Trenuj! – geometria"

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi