Trzy wymiary

Stereometria, to słowo, które często na twarzach maturzystów budzi grymas niezrozumienia. Oznacza ono geometrię przestrzenną, trójwymiarową. Bryły, w szkolnym programowym układzie, zwykle pojawiają się na samym końcu, tuż przed egzaminami. Z jednej strony, nie jest to złe, gdyż mamy wszystko „na świeżo”. Z drugiej strony jednak, nowe treści nie zdążyły się utrwalić, jak inne zagadnienia.
Pora więc na utrwalenie! Z pomocą przychodzą zadania maturalne CKE.

Zauważ, że trójkąt, (którego jednym z kątów jest kąt $\alpha = 45^\circ$ ), jest trójkątem prostokątnym, kąt prosty tworzy bok trójkąta, (będący wysokością graniastosłupa prostego) z podstawą graniastosłupa.
Ponadto, ponieważ jeden trójkąta jest kątem prostym, drugi kąt ma miarę $45^\circ$ , zatem trzeci kąt ma również miarę $45^\circ$ (suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$ ).
Wysokość graniastosłupa ma taką samą długość jak przekątna podstawy graniastosłupa. Tę zaś możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

$d^2=4^2+3^2$

$d^2=16+9=25$

$d=5$

$H=d$

Odp.: A

Graniastosłup prawidłowy czworokątny, to graniastosłup o kwadratowej podstawie. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa to suma pól powierzchni dwóch podstaw oraz powierzchni bocznej, (którą stanowią przystające prostokąty).

$P_c=2P_p+P_b$

$140=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot H$

$140=2\cdot a^2 +4\cdot a\cdot 3a$

$140=2\cdot a^2+12\cdot a^2$

$140=14\cdot a^2|:14$

$10=a^2$

$a=\sqrt{10}$

Odp.: A

Ściany ostrosłupa KNS i MNS to przystające trójkąty prostokątne (NS jest wysokością ostrosłupa). Ponadto są to trójkąty równoramienne:

$|KN|=|NM|=|NS|=4$

Zatem

$|KS|=|MS|=4\sqrt 2$

Z drugiej strony przekątna (kwadratowej) podstawy

$|KM|=4\sqrt 2$

Zatem trójkąt KMS jest równoramienny, więc wszystkie jego kąty mają jednakową miarę równą $60^\circ$ .
Odp.: D

Objętość stożka obliczamy ze wzoru:

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot H$

$H=4$
$r=6$

$V=\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2\cdot 4=\frac{1}{3}\cdot 144\pi =48\pi$

Odp.: C

Jeżeli $|AS|=|OS|$ , to trójkąt $OSA$ jest równoramienny. Ponieważ $OS$ to wysokość walca, jest to także trójkąt prostokątny. Miary jego kątów ostrych wynoszą po $45^\circ$ . Zatem