Trenuj! – stereometria

Że co? Stereometria? O bryły chodzi rzecz jasna! Trzeci wymiar wita. Pod tajemniczą nazwą stereometria kryje się geometria przestrzenna. Po tym krótkim wyjaśnieniu przejdźmy do zadań wybranych z arkuszy CKE. A jest to wybór mocno subiektywny. Podobnie, jak i rozwiązania – często istnieje ich wiele, ale tutaj wybieramy jedno z nich.

Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to ma 5 krawędzi bocznych i 5 krawędzi podstawy. To z kolei oznacza, że w podstawie ma pięciokąt. A co za tym idzie, ostrosłup ten ma 5 ścian bocznych.
Odpowiedź A.

Objętość kuli policzymy ze wzoru

$V_K=\frac{4}{3}\ \Pi R^3$

Promień kuli
$R=5$
zatem

$V_K=\frac{4}{3}\cdot 5^3\cdot \Pi=\frac{500}{3}\ \Pi$

Objętość stożka wyraża się wzorem:

$V_S=\frac{1}{3}\Pi\ r^2h$

Zatem

$V_K=V_S$

$\frac{500}{3}\Pi=\frac{1}{3}\Pi\ r^2h$

$\frac{500}{3}\Pi=\frac{1}{3}\Pi\ 10^2h\ \ |\cdot3$

$500\Pi=100\Pi\cdot h\ |:\Pi$

$500=100\cdot h$

Odpowiedź D.

Przekątna ściany sześcianu o krawędzi długości $a$ ma długość $a\sqrt2$ .

Pole powierzchni całkowitej sześcianu wyraża się wzorem:

$P_c=6a^2$

Obliczymy długość krawędzi sześcianu:

$a\sqrt2=2$

$a=\frac{2}{\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}\cdot \frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2$

Zatem

$P_c=6\cdot (\sqrt2)^2=6\cdot 2=12$

Odpowiedź C.

Objętość sześcianu wyraża się wzorem:

$V=a^3$

Zatem krawędź sześcianu ma długość:

$a=\sqrt[3]{64}=4$

Pole powierzchni całkowitej wynosi:

$P_c=6a^2=6\cdot 4^2=6\cdot 16=96$

Odpowiedź C.

Przypomnijmy wzór na objętość stożka:

$V=\frac{1}{3}\Pi r^2\cdot h$

Jeśli przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, to wysokość stożka (podobnie, jak wysokość trójkąta równobocznego) wyraża się wzorem
$h=\frac{a\sqrt3}{2}$
promień zaś wynosi
$r=\frac{1}{2}a$
Zatem objętość stożka wynosi:

$V=\frac{1}{3}\Pi r^2\cdot h=\frac{1}{3}\Pi \cdot \biggl(\frac{1}{2}a\biggl)^2\cdot\frac{a\sqrt3}{2}$

$V=\frac{1}{3}\Pi \cdot \frac{1}{4}a^2\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{24}a^3$

Odpowiedź D.

Ciąg dalszy nastąpi 🙂

O MATHko!

Trenuj! – stereometria

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi