Kąt środkowy i kąt wpisany, średnica, styczna, cięciwa, to pojęcia znane z gimnazjum. Nie oznacza to, że na maturze nie mogą się pojawić. A pojawiają się i to często! Warto przypomnieć sobie, jakie zależności łączą poszczególne obiekty geometryczne.

Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym opartym na tym samym łuku
Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.
(Tzn. jeśli kąt środkowy – tak ten z wierzchołkiem w środku okręgu – ma miarę , to wówczas kąt wpisany – ten z wierzchołkiem leżącym na okręgu – ma miarę .)

Twierdzenia o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe.
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na łukach równych, są równe.
(Tzn. jeśli kąt wpisany ma miarę , to kąt, wpisany oparty na tym samym łuku, także ma miarę .
Na rysunku kąty wpisane oznaczone zostały grecką literą alfa – .)

Twierdzenie o kącie wpisanym opartym na półokręgu
Kąt wpisany oparty na półokręgu (na średnicy okręgu), jest kątem prostym.
(Tutaj żadnej większej filozofii nie ma, tylko trzeba pamiętać, że kąt prosty ma . 😉 )

Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą
Dany jest okrąg o środku w punkcie O i jego cięciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Wtedy miara kąta AOB jest równa podwojonej mierze kąta CAB (przy czym, wybieramy ten z kątów środkowych AOB, który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta CAB).

Jeśli kąt CAB ma miarę, na przykład , to kąt AOB ma miarę dwa razy większą, czyli .
Pamiętajmy, że styczna z promieniem okręgu, poprowadzonym w punkcie styczności, tworzy kąt .

A teraz sprawdź swoje umiejętności!