Trenuj! – ciągi część 3

Podobieństwo pewnych zadań maturalnych nie jest przypadkowe. W końcu, co roku, sprawdzane są te same umiejętności. Warto zapoznać się i oswoić z dotychczasowymi propozycjami Centralnej Komisji Egzaminacyjnej. Przyjrzyjmy się ciągom.

Jeśli ciąg jest arytmetyczny, to posiada stałą różnicę $r$ .
$r=a_2-a_1=11-5=6$
Mając dany pierwszy wyraz ciągu i różnicę ciągu możemy obliczyć dowolny wyraz tego ciągu.
Stosując wzór ogólny

$a_n=a_1+(n-1)\cdot r$

otrzymujemy
$a_1_4=a_1+13\cdot r=5+13\cdot 6=5+78=83$
$a_1_2=a_1+11\cdot r=5+11\cdot 6=5+66=71$
$a_1_1=a_1+10\cdot r=5+10\cdot 6=5+60=65$
$a_1_0=a_1+9\cdot r=5+9\cdot 6=5+54=59$
Odp.: B

Zauważmy, że dla dowolnych wyrazów ciągu arytmetycznego mamy

$a_n=\frac{a_n_-_1+a_n_+_1}{2}$

W naszym przypadku

$a_5=\frac{a_4+a_6}{2}$

Stąd
$a_4+a_6=2\cdot a_5$
Wówczas
$a_4+a_5+a_6=2a_5+a_5=3a_5$
$3a_5=12$
$a_5=4$
Odp.: A

Zapiszmy wzór ciągu w innej postaci:

$a_n=\frac{5-2n}{6}=\frac{5}{6}-\frac{2}{6}n=-\frac{1}{3}n+\frac{5}{6}$

Powyższy zapis pozwala już wywnioskować bardzo wiele. Jeśli jednak jesteś zwolennikiem innych rozwiązań, możemy podejść do zagadnienia następująco:
na początek wyznaczymy wyraz $a_n_+_1$

$a_n_+_1=\frac{5-2(n+1)}{6}=\frac{5-2n-2}{6}=\frac{3-2n}{6}$

Obliczmy różnicę $a_n_+_1-a_n$

$a_n_+_1-a_n=\frac{3-2n}{6}-\frac{5-2n}{6}=\frac{3-2n-(5-2n)}{6}=\frac{3-2n-5+2n}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}$

Zatem uzasadniliśmy, że ciąg jest arytmetyczny i jego różnica wynosi $-\frac{1}{3}$
Odp.: A

Dane:
$a_1_2=30$
$S_1_2=162$
Szukamy $a_1$
Skorzystajmy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$

dla $n=12$ mamy

$S_1_2=\frac{a_1+a_1_2}{2}\cdot 12$

$162=\frac{a_1+30}{2}\cdot 12$

$162=(a_1+30)\cdot 6$

$27=a_1+30$

$a_1=27-30$

Odp.:

$a_1=-3$

Dane:
$a_1=8$
$S_3=33$
Szukamy różnicy $a_1_6-a_1_3$
zauważmy, że
$a_1_6-a_1_3=a_1+15r-(a_1+12r)=a_1+15r-a_1-12r=3r$
Rozważmy sumę trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

$S_3=a_1+a_2+a_3$

$S_3=a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)$

$a_1+a_1+r+a_1+2r=33$

$3a_1+3r=33$

$3r=33-3a_1=33-3\cdot 8=33-3\cdot 8=33-24=9$

Odp.:

$a_1_6-a_1_3=3r=9$

Mając kolejne wyrazy ciągu geometrycznego łatwo obliczyć iloraz

$q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2\sqrt 2}{\sqrt 2}=2$

Wzór na n-ty wyraz ciągu wyznaczymy korzystając ze wzoru

$a_n=a_1\cdot q^n^-^1$

$a_n=\sqrt 2\cdot 2^n^-^1=\sqrt 2\cdot \frac{2^n}{2}=\sqrt 2\cdot \frac{2^n}{\sqrt 2\cdot \sqrt 2}=\frac{2^n}{\sqrt 2}$

Odp.: B

Jeśli mamy do czynienia z trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego $x$ , $y$ , $z$ , to pamiętajmy, że mają one stały iloraz, czyli spełniają warunek: